El cálculo infinitesimal es una herramienta científica y tecnológica de primer nivel: sin duda la más potente y eficaz para el estudio de la naturaleza que hayan desarrollado jamás los matemáticos. Lo que lo hace tan versátil es la gran variedad de procesos de toda índole, matemáticos, físicos, tecnológicos, económicos, biológicos..., que se modelizan y resuelven usando el cálculo infinitesimal. Parafraseando a Galileo, se puede afirmar que el cálculo infinitesimal es el lenguaje de la naturaleza. Sin embargo, pocas personas conocen la gran versatilidad de los conceptos básicos del cálculo: la derivada y la integral.
Las aplicaciones del cálculo infinitesimal justifican que se le califique como un gran paso de la humanidad, que fue la llave para otros muchos progresos en diferentes ámbitos del conocimiento y la práctica.
Sin minusvalorar los avances del siglo anterior, el siglo XVII fue decisivo para la ciencia en Europa, se produjeron cambios profundos en la visión del mundo y en la capacidad humana para intervenir en la naturaleza. Avances técnicos y logros teóricos se realimentaron para llevar a cabo una revolución científica. El estudio científico del movimiento fue uno de los logros cruciales. El movimiento de los planetas, de los proyectiles, de las máquinas, alcanzó una formulación matemática gracias a una nueva herramienta: el cálculo infinitesimal. No solo hizo posible la mecánica, también propició los estudios del cambio continuo en todo tipo de problemas físicos, de la probabilidad, la economía, la biología, etc.
Las aplicaciones del cálculo infinitesimal justifican que se le califique como un gran paso de la humanidad, que fue la llave para otros muchos progresos en diferentes ámbitos del conocimiento y la práctica.
Sin minusvalorar los avances del siglo anterior, el siglo XVII fue decisivo para la ciencia en Europa, se produjeron cambios profundos en la visión del mundo y en la capacidad humana para intervenir en la naturaleza. Avances técnicos y logros teóricos se realimentaron para llevar a cabo una revolución científica. El estudio científico del movimiento fue uno de los logros cruciales. El movimiento de los planetas, de los proyectiles, de las máquinas, alcanzó una formulación matemática gracias a una nueva herramienta: el cálculo infinitesimal. No solo hizo posible la mecánica, también propició los estudios del cambio continuo en todo tipo de problemas físicos, de la probabilidad, la economía, la biología, etc.
Primeras preguntas
¿Qué es el cálculo? Un cálculo es una piedra. Los pastores antiguos ponían piedras en una cesta para contar ovejas. Distribuyendo piedras en diversos recipientes se realizaban cálculos numéricos (sumas, restas, etc.). Estos cálculos se hacían con cantidades finitas y mediante un número finito de operaciones con ellas.
¿Qué significa infinitesimal? Lo infinitesimal es lo infinitamente pequeño, lo inverso de lo infinitamente grande.
Por aquí empieza el cálculo infinitesimal, sumando infinitas cantidades que se van haciendo infinitamente pequeñas.
¿Qué es el cálculo infinitesimal? Habrá que ir contestando a esta pregunta por aproximaciones sucesivas y considerando sus partes más sencillas que permitan apreciar su esencia sin demasiados tecnicismos. Vendrá bien proceder con esa visión genética que sostiene que para entender mejor conviene no perder de vista el proceso histórico.
Explicar el cálculo infinitesimal como un gran paso de la humanidad requiere presentarlo como un devenir. Su pasado se aprecia como una acumulación de avances de diverso alcance realizados aquí y allá por la comunidad matemática de cada época, protagonizado por las mentes más geniales.
¿Qué es el cálculo? Un cálculo es una piedra. Los pastores antiguos ponían piedras en una cesta para contar ovejas. Distribuyendo piedras en diversos recipientes se realizaban cálculos numéricos (sumas, restas, etc.). Estos cálculos se hacían con cantidades finitas y mediante un número finito de operaciones con ellas.
¿Qué significa infinitesimal? Lo infinitesimal es lo infinitamente pequeño, lo inverso de lo infinitamente grande.
Por aquí empieza el cálculo infinitesimal, sumando infinitas cantidades que se van haciendo infinitamente pequeñas.
¿Qué es el cálculo infinitesimal? Habrá que ir contestando a esta pregunta por aproximaciones sucesivas y considerando sus partes más sencillas que permitan apreciar su esencia sin demasiados tecnicismos. Vendrá bien proceder con esa visión genética que sostiene que para entender mejor conviene no perder de vista el proceso histórico.
Explicar el cálculo infinitesimal como un gran paso de la humanidad requiere presentarlo como un devenir. Su pasado se aprecia como una acumulación de avances de diverso alcance realizados aquí y allá por la comunidad matemática de cada época, protagonizado por las mentes más geniales.
Grecia y el mundo antiguo
El gran Arquímedes usó una suma infinita para cuadrar un segmento de parábola, que es el área entre la parábola y una cuerda. Cuadrar significa comparar un área con otra.
El gran Arquímedes usó una suma infinita para cuadrar un segmento de parábola, que es el área entre la parábola y una cuerda. Cuadrar significa comparar un área con otra.
Llamaremos S al área total entre la cuerda y la parábola; y “segmento” a alguna parte de S.
Arquímedes encontró la relación entre el área S y el área T de un triángulo dentro de S. El triángulo deja otros dos segmentos sin ocupar, uno a cada lado, cada uno con su triángulo que, por propiedades de la parábola, resultan tener áreas iguales. Para completar S quedan cuatro segmentos cada uno con su triángulo: Para completar S quedan cuatro segmentos cada uno con su triángulo: resultan de nuevo todos iguales. Continuando indefinidamente la suma de triángulos hasta dejar “exhausto” (completamente abarcado o lleno) al área total 𝑆.
A este método de repetir y repetir figuras cada vez más pequeñas dentro de un área hasta abarcarla completa, se le conoce como “método de exahución” o “método de agotamiento”.
Arquímedes encontró la relación entre el área S y el área T de un triángulo dentro de S. El triángulo deja otros dos segmentos sin ocupar, uno a cada lado, cada uno con su triángulo que, por propiedades de la parábola, resultan tener áreas iguales. Para completar S quedan cuatro segmentos cada uno con su triángulo: Para completar S quedan cuatro segmentos cada uno con su triángulo: resultan de nuevo todos iguales. Continuando indefinidamente la suma de triángulos hasta dejar “exhausto” (completamente abarcado o lleno) al área total 𝑆.
A este método de repetir y repetir figuras cada vez más pequeñas dentro de un área hasta abarcarla completa, se le conoce como “método de exahución” o “método de agotamiento”.
Tiempo de espera fructífero.
El periodo medieval (del s.V a 1492, fin del s.XV) o Edad Media en Europa fue escaso en nuevas especulaciones.
El periodo medieval (del s.V a 1492, fin del s.XV) o Edad Media en Europa fue escaso en nuevas especulaciones.
Menos mal que el saber griego también se transmitió a Oriente (Asia; en países como China e India) y desde allí llegaron nuevas aportaciones decisivas a través de los árabes, que descargaron su riqueza científica en el norte de África y en la Península Ibérica. Las ciudades-estado italianas usaron las rutas comerciales con Oriente para importar también conocimiento.
El sistema decimal importado de Oriente permitía calcular mediante algoritmos. Los inconmensurables (los que no se pueden medir con exactitud) que torturaron a los griegos dejaron de ser intratables, domesticados como Números Irracionales con desarrollo decimal ilimitado.
Este sistema fue desarrollado por los hindúes, posteriormente lo introducen los árabes en Europa, donde recibe el nombre de sistema de numeración decimal o arábigo.
Este sistema fue desarrollado por los hindúes, posteriormente lo introducen los árabes en Europa, donde recibe el nombre de sistema de numeración decimal o arábigo.
El lenguaje simbólico algebraico se fue gestando a través de numerosas iniciativas.
La palabra "álgebra" es el nombre de la palabra árabe "Al-Jabr " en el título del libro que se refiere a la transposición y Cálculo de la Reducción, escrito por el matemático persa islámico, Muhammad ibn Musa Al-Khwārizmī (considerado el "padre del álgebra"), en 820.
La palabra "álgebra" es el nombre de la palabra árabe "Al-Jabr " en el título del libro que se refiere a la transposición y Cálculo de la Reducción, escrito por el matemático persa islámico, Muhammad ibn Musa Al-Khwārizmī (considerado el "padre del álgebra"), en 820.
El álgebra llegó a tener una gran eficacia en manos de Vieta (s. XVI/XVII), cuya pauta siguió Fermat, pero alcanzó la formulación definitiva gracias a Descartes, que por algo era filósofo. Con este lenguaje simbólico, nuevas oportunidades de desarrollo se abrieron para el álgebra.
En los comienzos del siglo XVII, Galileo inició el estudio científico experimental del movimiento. Calcular tangentes y áreas tiene que ver con el movimiento, basta pensar que las curvas son las trayectorias por las que circulan los puntos que estudia la cinemática y las tangentes marcan en cada punto de la curva la dirección instantánea del movimiento. Torricelli, Cavalieri, Mengoli, Roberval, seguidores de Galileo, se inspiraron en los métodos de Arquímedes para avanzar en la determinación de tangentes, áreas y volúmenes, calculando sumas infinitas y aplicando composición de movimientos en las curvas engendradas por algún tipo de mecanismo.
En los comienzos del siglo XVII, Galileo inició el estudio científico experimental del movimiento. Calcular tangentes y áreas tiene que ver con el movimiento, basta pensar que las curvas son las trayectorias por las que circulan los puntos que estudia la cinemática y las tangentes marcan en cada punto de la curva la dirección instantánea del movimiento. Torricelli, Cavalieri, Mengoli, Roberval, seguidores de Galileo, se inspiraron en los métodos de Arquímedes para avanzar en la determinación de tangentes, áreas y volúmenes, calculando sumas infinitas y aplicando composición de movimientos en las curvas engendradas por algún tipo de mecanismo.
El vínculo de las áreas con el movimiento tuvo un exponente magnífico en la segunda ley de Kepler (1609): Cada planeta se mueve siguiendo una elipse en uno de cuyos focos está el Sol y lo hace con velocidad variable, de manera que permanece constante el área barrida por el segmento que lo une con el Sol en intervalos iguales de tiempo. Las leyes de Kepler surgieron de una inducción genial a partir de las meticulosas observaciones tabuladas por Tycho Brahe, al mismo tiempo que Galileo inventaba el telescopio que mejoraría las observaciones. La segunda ley se refiere a velocidades medias, espacios recorridos en tiempos determinados, pero no a velocidades instantáneas, concepto reservado al cálculo infinitesimal que el propio Kepler vislumbró y ayudó a descubrir.
Galileo dijo que el universo estaba escrito en lenguaje matemático cuando este se iba diferenciando del de los griegos, pues se contaba con la ayuda del sistema decimal y el álgebra, que con la imprenta encontraban un enorme cauce de difusión nunca conocido antes (s.XV, 1440 es el año en el que por fin se atribuye de manera oficial la invención de la imprenta al alemán Johannes Gutenberg).
Naturalmente, estamos hablando del conocimiento nuevo que se genera en el pequeño grupo de sabios, cada vez más comunicados entre sí, pero los caminos y las velocidades de difusión de este conocimiento hacia capas sociales más amplias requeriría un estudio específico.
Naturalmente, estamos hablando del conocimiento nuevo que se genera en el pequeño grupo de sabios, cada vez más comunicados entre sí, pero los caminos y las velocidades de difusión de este conocimiento hacia capas sociales más amplias requeriría un estudio específico.
La geometría analítica.
En el ambiente descrito antes, pasado el primer tercio del siglo XVII, René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1665) desarrollaron avances.
Fermat demostró que las cónicas de Apolonio se corresponden exactamente con las curvas de ecuaciones cuadráticas. Por su parte, Descartes resolvió el llamado problema de Pappus. Con el tiempo, esta geometría que usa el álgebra recibió el nombre de geometría analítica.
En el ambiente descrito antes, pasado el primer tercio del siglo XVII, René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1665) desarrollaron avances.
Fermat demostró que las cónicas de Apolonio se corresponden exactamente con las curvas de ecuaciones cuadráticas. Por su parte, Descartes resolvió el llamado problema de Pappus. Con el tiempo, esta geometría que usa el álgebra recibió el nombre de geometría analítica.
Con ella se trataron viejos problemas de un modo nuevo y se abordaron otros hasta entonces imposibles. Descartes dio forma matemática a la idea vaga imperante de recta tangente a una curva algebraica.
Últimos precursores.
Una curva mecánica famosa fue la cicloide, descrita por un punto de la circunferencia que rueda sobre una recta. Roberval, Descartes y Huygens se ocuparon de estudiarla.
Una curva mecánica famosa fue la cicloide, descrita por un punto de la circunferencia que rueda sobre una recta. Roberval, Descartes y Huygens se ocuparon de estudiarla.
Fermat abordó desde la geometría analítica el cálculo con infinitesimales de Arquímedes, logró repetir con ecuaciones el cálculo del área del segmento de parábola y extender el método a otras curvas. Calculó un área complementaria mediante la aproximación por defecto y por exceso en rectángulos “muy pequeños”.
Al final de los cálculos, haciendo n cada vez más grande y los rectángulos a sumar “infinitesimales”, Fermat obtiene para el área bajo la parábola.
También británicos como Gregory, Wallis o Barrow, hicieron avances similares en el cálculo de tangentes, áreas, volúmenes y también longitudes de curvas.
También británicos como Gregory, Wallis o Barrow, hicieron avances similares en el cálculo de tangentes, áreas, volúmenes y también longitudes de curvas.
Newton y Leibniz.
Llegado el último tercio del siglo XVII, del grupo de matemáticos herederos de Arquímedes que calculaban con los infinitesimales, emergieron dos más penetrantes que fundaron al fin el cálculo infinitesimal: el inglés Isaac Newton (1642-1727) y el alemán Gottfried W. Leibniz (1646-1716). En el escritorio de estos genios, el cálculo infinitesimal se originó al concebir el cálculo de tangentes y de áreas de manera unitaria. El método de calcular tangentes fue llamado cálculo diferencial y el de calcular longitudes, áreas y volúmenes cálculo integral, estas son las dos partes que se fusionan para formar el cálculo infinitesimal.
Llegado el último tercio del siglo XVII, del grupo de matemáticos herederos de Arquímedes que calculaban con los infinitesimales, emergieron dos más penetrantes que fundaron al fin el cálculo infinitesimal: el inglés Isaac Newton (1642-1727) y el alemán Gottfried W. Leibniz (1646-1716). En el escritorio de estos genios, el cálculo infinitesimal se originó al concebir el cálculo de tangentes y de áreas de manera unitaria. El método de calcular tangentes fue llamado cálculo diferencial y el de calcular longitudes, áreas y volúmenes cálculo integral, estas son las dos partes que se fusionan para formar el cálculo infinitesimal.
El cálculo diferencial recibe este nombre porque Leibniz llamó diferenciales (diferencias pequeñas) a los pequeños incrementos de una variable x y los designó dx.
Newton pensaba que las variables eran siempre dependientes del tiempo y al producirse un cambio infinitesimal en el tiempo cambiaban de un modo lineal. Newton denotaba o al pequeño incremento del tiempo t y escribía ẋ para la derivada, a la que llamaba la fluxión de la cantidad x que fluye.
Donde Newton y Leibniz marcaron la diferencia con sus predecesores y contemporáneos fue en producir la relación entre el cálculo diferencial y el integral, usando la nueva visión del cálculo infinitesimal para resolver problemas hasta entonces sin solución. La esencia de la relación radica en la consideración de la integración (basada en áreas) como operación inversa de la derivación (basada en tangentes) a través de lo que se dio en llamar el teorema fundamental del cálculo.
Ejemplo/Ejercicio
Sumando sucesivamente con mucha paciencia, los números n se van haciendo infinitamente grandes, mientras que sus fracciones inversas se van haciendo infinitamente pequeñas.
Por ejemplo, realiza los pasos que a continuación se indican. Al final, toma una fotografía porque la subirás cuando se indique.
1. Toma una hoja de papel completa (no importa el tamaño).
2. Pártela por la mitad.
3. Una de las mitades déjala intacta.
4. La mitad sobrante pártela a la mitad; ahora quedándote en cuartos.
5. Une (suma) uno de los cuartos con la mitad del paso 3.
6. El cuarto sobrante pártelo a la mitad, ahora quedándote en octavos.
7. Une (suma) unos de los octavos con los del paso 5 (un cuarto y una mitad).
8. El octavo sobrante pártelo a la mitad, ahora quedándote en dieciseisavos.
9. Une (suma) unos de los dieciseisavos con los del paso 7 (un octavo, un cuarto y una mitad).
10. El dieciseisavo sobrante pártelo a la mitad, ahora quedándote en treintaidosavos.
Sigue repitiendo este procedimiento hasta donde te sea posible.
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-------
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Se sabe que la suma de todos los trozos al final debería ser la hoja completa, o sea, “1”.
Sin embargo, sumando “la mitad, de la mitad, de la mitad…” y así sucesivamente, solo nos acercamos a “1”, pero nunca llegamos a uno, tal como se muestra en la tabla de abajo; obsérvala bien.
Por ejemplo, realiza los pasos que a continuación se indican. Al final, toma una fotografía porque la subirás cuando se indique.
1. Toma una hoja de papel completa (no importa el tamaño).
2. Pártela por la mitad.
3. Una de las mitades déjala intacta.
4. La mitad sobrante pártela a la mitad; ahora quedándote en cuartos.
5. Une (suma) uno de los cuartos con la mitad del paso 3.
6. El cuarto sobrante pártelo a la mitad, ahora quedándote en octavos.
7. Une (suma) unos de los octavos con los del paso 5 (un cuarto y una mitad).
8. El octavo sobrante pártelo a la mitad, ahora quedándote en dieciseisavos.
9. Une (suma) unos de los dieciseisavos con los del paso 7 (un octavo, un cuarto y una mitad).
10. El dieciseisavo sobrante pártelo a la mitad, ahora quedándote en treintaidosavos.
Sigue repitiendo este procedimiento hasta donde te sea posible.
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Se sabe que la suma de todos los trozos al final debería ser la hoja completa, o sea, “1”.
Sin embargo, sumando “la mitad, de la mitad, de la mitad…” y así sucesivamente, solo nos acercamos a “1”, pero nunca llegamos a uno, tal como se muestra en la tabla de abajo; obsérvala bien.
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