Un conjunto o colección lo forman unos elementos de la misma naturaleza, es decir, elementos que poseen en común ciertas propiedades o características.
Un conjunto puede tener un número finito o infinito de elementos (finito: que tiene fin; infinito: que no tiene fin).
En matemáticas es común denotar a los elementos mediante letras minúsculas y a los conjuntos por letras mayúsculas (denotar: representar).
Los Conjuntos de números definidos en matemáticas son: Naturales (N), Enteros (Z), Racionales (Q), Irracionales (I) y Reales (R).
Cada uno de los Conjuntos fue surgiendo según las necesidades del ser humano y el desarrollo de las matemáticas.
Un conjunto puede tener un número finito o infinito de elementos (finito: que tiene fin; infinito: que no tiene fin).
En matemáticas es común denotar a los elementos mediante letras minúsculas y a los conjuntos por letras mayúsculas (denotar: representar).
Los Conjuntos de números definidos en matemáticas son: Naturales (N), Enteros (Z), Racionales (Q), Irracionales (I) y Reales (R).
Cada uno de los Conjuntos fue surgiendo según las necesidades del ser humano y el desarrollo de las matemáticas.
N = Conjunto de los Números Naturales
El conjunto de los Números Naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios.
Este conjunto se caracteriza porque tiene un número ilimitado de elementos hacia la derecha de la recta numérica.
Observa en la Recta numérica no existen números entre el 1 y el 2, o el 2 y el 3, no hay cero ni valores negativos.
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}
Este conjunto se caracteriza porque tiene un número ilimitado de elementos hacia la derecha de la recta numérica.
Observa en la Recta numérica no existen números entre el 1 y el 2, o el 2 y el 3, no hay cero ni valores negativos.
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}
Representación de N en la Recta numérica
Z = Conjunto de los Números Enteros
El Conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción (resta), pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución utilizando los números Naturales (por ejemplo: 3 – 5 = ¿?).
Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico con relación a los positivos y situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (como si el cero fuera un espejo).
Dentro de este conjunto se encuentra inmerso el conjunto N (inmerso: dentro).
Aún no existen valores entre los números enteros y ya está incluido el cero, aunque la inclusión del número cero en los números enteros varía según el autor.
Z = { ... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico con relación a los positivos y situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (como si el cero fuera un espejo).
Dentro de este conjunto se encuentra inmerso el conjunto N (inmerso: dentro).
Aún no existen valores entre los números enteros y ya está incluido el cero, aunque la inclusión del número cero en los números enteros varía según el autor.
Z = { ... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
Representación de Z en la Recta numérica
Q = Conjunto de los Números Racionales
El conjunto de los Números Racionales se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los Números Enteros al hacer divisiones; no todas la divisiones dan como resultado un Número Entero. Por ejemplo, 10/5 = 2, que 2 sí es un Número Entero, pero 3/4 = ? no tiene resultado en el conjunto de Números Enteros.
Para solucionar esta dificultad, se creó este conjunto, el cual está formado por todos los números de la forma a / b. Esta división en la cual el numerador es a, es un número entero y el denominador b, es un número entero distinto de cero. A su vez, las fracciones son también divisiones, por lo que:
1/2 = 0.5
9/10 = 0.9
Cada fracción es un Número Racional, y cada decimal es también un Número Racional.
El conjunto de los Números Racionales (Q) se les llama así porque representan una "ración", es decir, una porción de algo, un pedazo de algo.
Los Números Racionales incluyen al conjunto de los Números Enteros (Z).
Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo entre los números enteros de una Recta numérica en espacios iguales. Cada una de estas subdivisiones representa una fracción con denominador igual al número de partes de la subdivisión.
Aún así, quedan pequeños espacios entre las fracciones en la Recta numérica.
Q = {fracciones,números decimales finitos, números decimales infinitos periódicos}
Q = { ..., - ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾, ... }
Representación de Q en la Recta numérica
Nota: Los dígitos testados son los que se repiten periódicamente, como el -0.6 y el -0.3 (testado: con una raya arriba de los números).
I = Conjunto de Números Irracionales
Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número Pi, etc. A él pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que no pueden transformarse en una fracción.
Estas raíces inexactas comenzaron a aparecer cuando se comenzaron a hacer cálculos tales como el Teorema de Pitágoras y la Trigonometría en general.
El conjunto I es independiente del conjunto Q.
En la Recta numérica, un número irracional "rellena" los espacios entre las localizaciones de las fracciones.
I = {decimales infinitos NO periódicos}
I = { ...,raíces inexactas, pi , ... }
Estas raíces inexactas comenzaron a aparecer cuando se comenzaron a hacer cálculos tales como el Teorema de Pitágoras y la Trigonometría en general.
El conjunto I es independiente del conjunto Q.
En la Recta numérica, un número irracional "rellena" los espacios entre las localizaciones de las fracciones.
I = {decimales infinitos NO periódicos}
I = { ...,raíces inexactas, pi , ... }
Representación de I en la Recta numérica
R = Conjunto de Números Reales
El conjunto formado por la unión de los Números Racionales (Q) y los Números Irracionales se denomina Conjunto de Números Reales (R).
Una manera simple de entender los números reales es cualquier punto de la Recta numérica.
Una manera simple de entender los números reales es cualquier punto de la Recta numérica.
Diagrama de Venn para representar a los distintos Conjuntos de Números
N está dentro de Z; Z está dentro de Q; Q es independiente de I. Por último, Q e I están dentro de R.
Lo anterior quiere decir que todos los Números Naturales son también Números Enteros, a su vez son Números Racionales y a su vez, Números Reales. Observa bien el Diagrama de arriba.
Lo anterior quiere decir que todos los Números Naturales son también Números Enteros, a su vez son Números Racionales y a su vez, Números Reales. Observa bien el Diagrama de arriba.
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